ウィルソンの定理とは？
うぃるそんのていり
「定理」の用語まとめを見るウィルソンの定理とは、整数pが素数であるための必要十分条件として「(p-1)! ＋ 1 がpで割り切れる」ことを主張する、整数論の基本定理です。
ウィルソンの定理は、18世紀のイギリス人数学者ジョン・ウィルソンにちなんで名付けられましたが、実際に証明したのはフランスの数学者ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュです。定理の内容は次の通りです。
自然数pが素数であるための必要十分条件は、(p-1)! ≡ -1 (mod p) が成立すること、すなわち (p-1)!＋1 がpで割り切れることです。
具体例で確認すると、
- p＝5（素数）: 4!＝24、24＋1＝25＝5×5 → 5で割り切れる（定理が成立）
- p＝7（素数）: 6!＝720、720＋1＝721＝7×103 → 7で割り切れる（定理が成立）
- p＝6（合成数）: 5!＝120、120＋1＝121 → 6で割り切れない（定理が成立）
証明のポイントは、素数pを法とする整数の乗算群の性質を使うことで、1から(p-1)までの整数をうまくペアリングすると多くの項が打ち消し合い、最終的に -1 だけが残ることを示します。
ウィルソンの定理は理論的には素数判定の方法として解釈できますが、(p-1)! の計算はpが大きくなると膨大な計算量になるため、実用的な素数判定アルゴリズムとしては使われません。数論の基礎的な美しい結果として、整数論・暗号理論の学習で紹介される重要な定理です。
使い方・例文
整数論の授業やコンピュータサイエンスの暗号理論の講義で、素数の性質を理解するための例題としてウィルソンの定理が取り上げられます。
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