等号論理とは？
とうごうろんり
等号論理とは、等号（イコール）を扱う公理を通常の述語論理に加えた論理体系で、対象どうしが「同一である」という関係を形式的に扱います。
等号論理（logic with equality、または等式論理）とは、一階述語論理に等号記号「＝」を組み込み、等号に関する公理を追加した論理体系です。等号を用いることで、「aとbは同じ対象である（a＝b）」という主張を形式的に表現し推論に利用できます。
等号論理に追加される代表的な公理は以下の通りです。
- 反射律：任意のxに対して x＝x が成り立つ
- 対称律：x＝y ならば y＝x
- 推移律：x＝y かつ y＝z ならば x＝z
- 代入原理（ライプニッツ律）：x＝y であれば、xに関する任意の性質P(x)はP(y)でも成り立つ
等号論理は、代数的な構造（群・環・体など）の理論を展開する際や、プログラムの意味論で「式の評価結果が等しい」ことを証明する際に広く利用されます。また、関数的プログラミングにおける等式変換による計算規則の記述にも密接に関連します。
等号を含まない通常の一階述語論理を「等号なし述語論理」と呼ぶことがあり、等号論理はその拡張に位置づけられます。数理論理学では等号論理の健全性・完全性も証明されており、堅固な基盤を持つ体系です。
使い方・例文
「ソクラテスは哲学者である」かつ「プラトンの師はソクラテスである（師＝ソクラテス）」から「プラトンの師は哲学者である」と導くとき、等号の代入原理が使われています。プログラムの検証でも変数の値が等しいことを推論する際に等号論理が活用されます。
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