数学的帰納法の原理とは？
すうがくてききのうほうのげんり
「原理」の用語まとめを見る数学的帰納法の原理とは、自然数に関する命題を「最初の場合が成り立つ」と「ある場合が成り立てば次も成り立つ」の二段階で証明する論理的手法です。
数学的帰納法の原理（principle of mathematical induction）は、自然数全体にわたる命題を厳密に証明するための基本的な手法です。ドミノ倒しに例えられることが多く、「最初の1枚が倒れる」「あるドミノが倒れれば次も倒れる」という二条件が揃えば、すべてのドミノが倒れることを保証するものです。
証明の手順は次の二段階です。
- 基底ケース（basis）：最小の自然数（通常 n=1）で命題が成り立つことを示す。
- 帰納ステップ（inductive step）：n=k で成り立つと仮定したとき（帰納仮説）、n=k+1 でも成り立つことを示す。
この二段階が完成すれば、すべての自然数で命題が真であると結論できます。たとえば「1から n までの整数の和が n(n+1)/2 である」という公式は数学的帰納法で厳密に証明できます。
また、「強い帰納法」と呼ばれる変形版では、k 以下のすべての場合が成り立つと仮定して k+1 を示すため、より複雑な再帰的構造の証明に使われます。数学的帰納法は整数論・組合せ論・アルゴリズムの計算量解析など広い分野で不可欠な道具となっています。
使い方・例文
「すべての正の整数 n について 1+2+…+n = n(n+1)/2 が成り立つ」ことを示す際に、n=1 で確認し、n=k で成り立つと仮定して n=k+1 の場合を導く形で使います。
この用語をシェア
最終更新: