数学的帰納法とは？
すうがくてききのうほう
数学的帰納法とは、自然数に関する命題を、基底となる最初の場合と帰納的なステップの2段階で証明する論理的手法です。
数学的帰納法（すうがくてききのうほう、mathematical induction）とは、自然数に関する命題 P(n) を証明する際に用いられる手法で、次の2ステップから構成されます。
- 基底（base case）：n = 1（または起点となる自然数）で P(n) が成り立つことを示す
- 帰納ステップ（inductive step）：P(k) が成り立つと仮定したとき、P(k+1) も成り立つことを示す
直感的なイメージとして「ドミノ倒し」がよく使われます。1枚目が倒れること（基底）と、k 枚目が倒れれば k+1 枚目も倒れること（帰納ステップ）を示せば、すべてのドミノが倒れると言えます。
数学的帰納法が有効な代表的な例として次のものがあります。
- 1 + 2 + 3 + … + n = n(n+1)/2 の証明
- 2ⁿ > n（n ≥ 1）の証明
- 等比数列の和公式の証明
発展形として、複数の前提から次を導く強い帰納法や、最小値の存在に基づく最小値原理との同値性も知られています。数学的帰納法は無限の場合を有限の手順で網羅できる強力な証明技法であり、数学のさまざまな分野で不可欠な道具です。
使い方・例文
「1からnまでの整数の和はn(n+1)/2である」という公式の証明に数学的帰納法がよく用いられます。入試でも頻出の証明手法であり、高校数学の必修事項のひとつです。
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