ポテンシャル関数とは？
ぽてんしゃるかんすう
ポテンシャル関数とは、物理や数学でベクトル場の源となるスカラー関数で、その勾配がベクトル場（力場）と対応します。
ポテンシャル関数（potential function）とは、あるベクトル場 F がスカラー関数 φ の勾配（gradφ）として表せるとき、その関数 φ のことを指します。すなわち F = −∇φ（あるいは ∇φ）という関係が成り立つとき、φ をポテンシャル関数と呼びます。
物理学では特に力場との関連で使われ、保存力（仕事が経路に依存しない力）はポテンシャル関数を持つことが知られています。代表的な例を以下に示します。
- 重力ポテンシャル：地表近くでは mgh（m：質量、g：重力加速度、h：高さ）
- 静電ポテンシャル（電位）：点電荷によるクーロン力に対応
- 弾性ポテンシャル：ばねの弾性エネルギー (1/2)kx²
ポテンシャル関数が存在するための条件は、ベクトル場の回転（rot、curl）がゼロであること、つまりそのベクトル場が「渦なし場」であることです。この条件を満たす場を「保存場」または「ポテンシャル場」といいます。
数学的には、最適化問題においてもポテンシャル関数という概念が使われ、目的関数のうち勾配降下法の対象となる関数を指すこともあります。電磁気学・流体力学・量子力学など広範な分野で基礎的な役割を担う概念です。
使い方・例文
高い場所から落ちるボールは、重力ポテンシャルエネルギー（位置エネルギー）を持っています。この位置エネルギーがポテンシャル関数の典型例であり、落下につれて運動エネルギーに変換されます。
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