ベル数とは？
べるすう
ベル数とは、n個の区別できる要素を持つ集合を、空でない部分集合に分割する方法の総数を表す整数の列で、組合せ数学の重要な数です。
ベル数（Bell number）は、集合の分割（partition）の個数を数える数学的な数の列です。n個の要素を持つ集合を「順序なし・空でない部分集合の組み合わせ」に分割する仕方の総数をB(n)と表し、これをベル数と呼びます。スコットランドの数学者エリック・テンプル・ベルにちなんで命名されました。
最初のいくつかのベル数を挙げると、B(0)=1、B(1)=1、B(2)=2、B(3)=5、B(4)=15、B(5)=52 となります。たとえば3個の要素 {a, b, c} を分割する方法は、{a,b,c}・{a,b}{c}・{a,c}{b}・{b,c}{a}・{a}{b}{c} の5通りでB(3)=5となります。
ベル数の計算には次の方法が知られています。
- ベル三角形（Bell triangle）と呼ばれる三角形の数表を利用する漸化式的な方法
- スターリング数（第二種）の和として求める方法
- 指数型母関数を用いた解析的な方法
ベル数は組合せ論・代数・情報科学などで幅広く活用されます。データのクラスタリングや等価クラスの列挙など、現実の問題でも集合分割の個数を把握する必要がある場面で登場します。急速に増大する数列であり、数え上げ組合せ論の魅力的な対象のひとつです。
使い方・例文
「4種類の生徒をいくつかのグループに分ける方法は何通りか」を求めるとベル数 B(4)=15 が答えになります。組合せ論や離散数学の授業で分割数の例題としてよく用いられます。
この用語をシェア
最終更新: