ド・モルガンの法則とは？
どもるがんのほうそく
「法則」の用語まとめを見るド・モルガンの法則とは、論理演算における「否定」と「積・和」の関係を示す定理で、集合や命題論理の基礎となる法則です。
ド・モルガンの法則（De Morgan's laws）とは、19世紀のイギリスの数学者オーガスタス・ド・モルガンが定式化した、論理演算に関する2つの基本定理です。命題論理・集合論・電子回路設計など幅広い分野の基礎をなしています。
命題論理における2つの法則は次のように表せます。
- 第一法則：「AかつB」の否定は「AでないまたはBでない」と等しい（¬(A∧B) ≡ ¬A∨¬B）
- 第二法則：「AまたはB」の否定は「AでなくかつBでない」と等しい（¬(A∨B) ≡ ¬A∧¬B）
集合論では以下のように言い換えられます。
- AとBの共通部分（積集合）の補集合は、AとBそれぞれの補集合の和集合に等しい
- AとBの和集合の補集合は、AとBそれぞれの補集合の積集合に等しい
この法則が重要な理由は、論理式を変換・簡略化するための強力なツールとなるからです。例えば、コンピュータのデジタル回路設計では、NANDゲートやNORゲートを用いて複雑な論理をシンプルに実装する際にド・モルガンの法則が直接活用されます。また、プログラミングにおける条件式の書き換えや、数学の証明にも頻繁に登場します。
使い方・例文
「AかつBではない」という条件をプログラムで表現するとき、ド・モルガンの法則を使って「Aでないまたはbでない」に変換して実装することができます。
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