サイクロイドとは？
さいくろいど
サイクロイドとは、直線の上を転がる円の円周上の一点が描く波状の軌跡で、最速降下線や等時間降下線としても有名な曲線です。
サイクロイド（cycloid）とは、平らな直線の上を円が滑らずに転がるとき、その円の円周上に固定された一点が描く軌跡のことです。パラメータ t を用いて x = a(t − sin t)、y = a(1 − cos t) と表され、円弧と直線が組み合わさったような波状の形をしています。
サイクロイドが数学史上で特に有名なのは、2つの驚くべき物理的性質を持つからです。
- 最速降下線（ブラキストクローン）：重力の下で、ある点から別の点へ物体を最短時間で滑らせる経路がサイクロイドになる
- 等時降下線（タウトクローン）：サイクロイドの曲面上では、どの位置から出発しても最下点に到達する時間が同じになる
これらの性質は17世紀後半に発見され、ヨハン・ベルヌーイが提起した最速降下線問題はニュートン、ライプニッツ、ヤコブ・ベルヌーイらが競って解いた歴史的な難問です。等時降下性はかつて振り子時計の精度向上に応用されようとした時代もありました。
また、サイクロイドの一アーチの弧長は円の直径の4倍、面積は転がる円の面積の3倍という、整数比で表せるきれいな結果も知られています。
使い方・例文
自転車のバルブ（空気を入れる口）の動きを横から長時間露光で撮影すると、サイクロイドの形が映り込みます。物理の問題では「ビー玉を最速で転がす溝の形」としてよく登場します。
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