補集合とは？
ほしゅうごう
補集合とは、ある全体集合の中で特定の集合に含まれない要素すべてをまとめた集合のことです。
補集合（ほしゅうごう、Complement）とは、集合論において、全体集合（普遍集合）Uの中で、ある集合Aに属さない要素をすべて集めた集合のことです。集合AのUに対する補集合は、一般にAの上にバー（A̅）やA^cなどの記号で表されます。
定義を式で表すと次のようになります。
- A̅ = { x ∈ U | x ∉ A }
- AとA̅の和集合は全体集合Uに等しい（A ∪ A̅ = U）。
- AとA̅の積集合（共通部分）は空集合に等しい（A ∩ A̅ = ∅）。
- 補集合の補集合はもとの集合に等しい（(A̅)̅ = A）。
補集合の考え方は、確率論でも頻繁に登場します。事象Aが起こる確率をP(A)とすると、Aが起こらない確率はP(A̅) = 1 − P(A)で求められます。これを「余事象の公式」と呼び、直接求めにくい確率を間接的に計算する際に非常に便利です。たとえば「少なくとも1回成功する確率」を求める場面で、「1回も成功しない確率」の補集合として計算するのが典型的な使い方です。
使い方・例文
「コインを3回投げて少なくとも1回表が出る確率は、全部裏の補集合として1 − (1/2)³ = 7/8 と計算できます」のように使います。
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