対偶とは？
たいぐう
対偶とは、論理学・数学で「AならばBである」という命題に対し、「BでないならばAでない」と言い換えた命題のことで、もとの命題と常に真偽が一致します。
対偶（たいぐう）とは、論理学・数学における命題変換の手法のひとつです。ある命題「PならばQである（P→Q）」に対して、その仮定と結論をそれぞれ否定し、かつ順序を逆にした命題「QでないならばPでない（¬Q→¬P）」を対偶と呼びます。
対偶の最大の特徴は、もとの命題と対偶の真偽は必ず一致するという点です。つまり、もとの命題が真であれば対偶も真、もとの命題が偽であれば対偶も偽になります。この性質は論理的に証明可能であり、命題論理の基本的な同値関係として位置づけられています。
一方で、混同しやすい概念として「逆」と「裏」があります。
- 逆：「QならばP」—もとの命題と真偽が一致するとは限らない
- 裏：「PでないならばQでない」—同様に真偽は一致しない
- 対偶：「QでないならばPでない」—もとの命題と必ず真偽が一致する
数学の証明では、直接証明が難しい場合に対偶を利用する手法がよく使われます。たとえば「nが奇数ならばn²は奇数である」を証明するとき、対偶「n²が偶数ならばnは偶数である」を示すほうが簡単な場合があります。こうした対偶を用いた間接証明は高校数学から大学数学まで幅広く活用されます。
使い方・例文
「この命題の証明には対偶を利用するのが効率的だ」と、数学の授業や試験問題で頻繁に登場します。
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