冪集合とは？
べきしゅうごう
冪集合とは、ある集合のすべての部分集合を集めた集合のことで、元の集合の要素数がnであれば2のn乗個の要素を持ちます。
冪集合（べきしゅうごう、power set）とは、ある集合Aに対して、Aのすべての部分集合を要素として集めた集合のことです。集合Aの冪集合はP(A)または2^Aと表記されます。
最も重要な性質は要素数です。集合Aがn個の要素を持つとき、冪集合P(A)は2のn乗（2^n）個の要素を持ちます。これは各要素について「含む・含まない」の2択があるためです。空集合（∅）と集合A自身もP(A)の要素として必ず含まれます。
具体例として、A = {1, 2, 3} の場合を見てみましょう。
- P(A) = { ∅, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3} }
- 要素数は 2^3 = 8 個
空集合の冪集合はP(∅) = {∅}で、要素数は1（= 2^0）です。
冪集合は数学・計算機科学において広く応用されます。位相空間論では開集合系の定義に、論理学では命題の真偽の組み合わせに、アルゴリズムでは部分集合列挙問題に登場します。また、カントールの定理によれば任意の集合Aに対してP(A)の濃度はAの濃度より真に大きく、無限集合の濃度の違いを示す重要な概念でもあります。
使い方・例文
「集合{a, b}の冪集合は{∅, {a}, {b}, {a,b}}の4つの要素からなる」のように、部分集合の網羅的な列挙を扱うときに登場します。
この用語をシェア
最終更新: