不動点定理とは？
ふどうてんていり
「定理」の用語まとめを見る不動点定理とは、ある条件を満たす写像は必ず自分自身に移る点（不動点）を持つことを保証する数学の定理群です。
不動点定理（ふどうてんていり、英: fixed-point theorem）とは、一定の条件を満たす空間上の写像 f に対して、f(x) = x を満たす点 x（不動点）が必ず存在することを述べる定理の総称です。様々な形の不動点定理があり、それぞれ異なる条件と応用を持ちます。
代表的な不動点定理を紹介します。
- ブラウアーの不動点定理： n 次元球体から自分自身への連続写像は必ず不動点を持つ。「コーヒーをかき混ぜると必ず1か所は動いていない点がある」という直感的解釈で有名
- バナッハの不動点定理（縮小写像の定理）： 完備距離空間上の縮小写像は唯一の不動点を持ち、その不動点への収束を保証する。数値解析での反復法の収束証明に使われる
- 角谷の不動点定理： ブラウアーの定理を集合値写像（対応）に拡張した定理。ゲーム理論でナッシュ均衡の存在証明に用いられる
不動点定理の応用範囲は非常に広く、連立方程式の解の存在・一意性の証明、常微分方程式の解の存在定理（ピカールの定理）、経済学・ゲーム理論での均衡の存在証明、数値計算での収束保証など多岐にわたります。
使い方・例文
バナッハの不動点定理は、方程式 x = f(x) を反復計算（x₁ = f(x₀)、x₂ = f(x₁)、…）で解く際に、その計算が必ず収束することを保証します。地図を小さく折り畳んで元の地図の上に置くと、必ず「地図上の点と現実の場所が一致する点」が1つ存在するという例も知られています。
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