ラグランジュの四平方定理とは？
らぐらんじゅのよんへいほうていり
「定理」の用語まとめを見るすべての自然数は、4個以下の整数の平方数の和として表せるという数論の基本定理です。
ラグランジュの四平方定理（Lagrange's four-square theorem）は、1770年にフランスの数学者ジョセフ=ルイ・ラグランジュが証明した数論における重要な定理です。その内容は、「すべての自然数（正の整数）は、4個の整数の平方数の和として表すことができる」というものです。
たとえば、7は0²+1²+1²+√5²では表せませんが、1²+1²+1²+2²＝7のように4個の平方の和で表せます。また、1や4のように1個や2個の平方数だけで表せる数も、残りを0²で補うことで4個の形式に収まります。
この定理が解決した問題の背景には、「ウェアリング問題」があります。17世紀のピエール・ド・フェルマーはすでに「すべての自然数は4つの平方数の和である」と予想していましたが、証明はラグランジュによって初めて達成されました。
定理のポイントを整理すると次のとおりです。
- 使える平方数は0²、1²、2²、3²……など0以上の整数の平方
- 4個のうち重複や0を含めてよい
- 3個以下では表せない数（7や15など）が存在するため、4個が最小の保証された個数
- 2個以下で表せる数は特定の形式に限られる（フェルマーの2平方定理と関連）
ラグランジュの四平方定理は、現代の整数論・代数的整数論の礎となり、クワドラティック形式の研究など、より深い数学的発展へとつながる重要な成果です。
使い方・例文
たとえば23という数は、1²+2²+3²+3²＝1+4+9+9＝23と、4つの整数の平方和として表すことができます。
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