オイラーの多面体定理とは？
おいらーのためんたいていり
「定理」の用語まとめを見るオイラーの多面体定理とは、任意の凸多面体において頂点の数 V・辺の数 E・面の数 F の間に V－E＋F＝2 という関係が成り立つという、トポロジーの礎を築いた定理です。
18世紀のスイスの数学者レオンハルト・オイラーが発見した多面体定理は、V（頂点数）－E（辺の数）＋F（面の数）＝2 という式で表されます。この値「2」はオイラー標数（オイラー数）と呼ばれます。
いくつかの凸多面体で確認してみましょう。
- 正四面体：V=4、E=6、F=4 → 4－6＋4＝2
- 立方体：V=8、E=12、F=6 → 8－12＋6＝2
- 正八面体：V=6、E=12、F=8 → 6－12＋8＝2
- サッカーボール型（切頂二十面体）：V=60、E=90、F=32 → 60－90＋32＝2
重要なのは、この定理が多面体の形・大きさ・辺の長さに一切依存せず、連結性（接続構造）だけに依存する点です。これはトポロジー（位相幾何学）の先駆けとなる洞察であり、面が平面でなくても球面上のグラフであれば同様に成立します。
一方、ドーナツ型（トーラス）の多面体ではオイラー標数が0になるなど、形のトポロジーに応じて値が変わります。この拡張がトポロジーの中心概念「オイラー標数」として発展しました。グラフ理論やネットワーク設計にも応用される基礎的な定理です。
使い方・例文
サッカーボールを思い浮かべてください。五角形の黒い部分と六角形の白い部分を合わせた面数・辺数・頂点数を数えると、必ず V－E＋F＝2 が成立します。
この用語をシェア
最終更新: