平均曲率とは？
へいきんきょくりつ
平均曲率とは、曲面の各点における曲がり具合を表す量で、主曲率の平均値として定義される微分幾何学の基本概念です。
平均曲率（へいきんきょくりつ、英: mean curvature）とは、3次元空間内の曲面の各点において、二つの主曲率 κ₁ と κ₂ の平均 H = (κ₁ + κ₂)/2 として定義される量です。ガウス曲率とならんで、曲面の形状を記述する最も基本的な量の一つです。
平均曲率がすべての点でゼロとなる曲面を極小曲面（minimal surface）と呼びます。石鹸膜が作る形がその典型例で、与えられた境界を持つ曲面の中で面積を最小にする性質があります。カテノイド（懸垂線の回転面）やヘリコイドなどが代表的な極小曲面です。
平均曲率は方程式の形でも重要な役割を果たします。
- 毛細管現象では、気液界面の圧力差が平均曲率に比例する（ヤング・ラプラス方程式）
- 生物膜の形状変化を記述するハルフリッヒモデルに使われる
- コンピュータグラフィクスでの曲面の滑らかさ評価に応用される
- 微分幾何学の等周問題と深く関係する
平均曲率はガウス曲率（主曲率の積）とは異なり、曲面の外在的な性質（曲面がどのように空間に埋め込まれているか）に依存します。物理・工学・生物学など多くの分野で活用されています。
使い方・例文
シャボン玉の表面は平均曲率が一定（内外の圧力差を一定に保つため）になっており、これが球形を保つ理由です。また、複数の泡が合体するときの境界面の形もこの原理で説明されます。
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