対称式とは？
たいしょうしき
対称式とは、複数の変数を入れ替えても値が変わらない多項式または式のことで、数学における重要な概念のひとつです。
対称式（たいしょうしき）とは、含まれる変数のどの2つを入れ替えても式の値が変わらない式のことをいいます。たとえば2変数 x, y の式 f(x, y) について、f(x, y) = f(y, x) が成り立つとき、その式は対称式です。
最もよく知られる対称式として基本対称式があります。2変数の場合、x + y（和）と xy（積）がその基本対称式であり、x² + y² や x³ + y³ といった対称式はすべてこれらの組み合わせで表せます。これは対称式の基本定理（ニュートンの定理）として知られます。
対称式が重要な理由は次の通りです。
- 方程式の根と係数の関係（ヴィエタの公式）を介して、根の性質を調べるときに役立つ
- 複雑な式の変形・計算を簡略化できる
- 多変数関数の性質解析や組合せ論にも応用される
対称式と対になる概念として交代式（反対称式）があり、変数を入れ替えると符号が反転する式を指します。代表例は x − y です。高校数学・大学数学の双方で頻出する概念であり、整式の変形問題でとくに重要な役割を果たします。
使い方・例文
x² + y² + z² は x, y, z のどれを入れ替えても変わらないため対称式の典型例です。入試では「x + y = 3、xy = 2 のとき x² + y² を求めよ」という問題で対称式の変形が登場します。
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