リーマン面とは？
りーまんめん
リーマン面とは、複素関数の多値性を解消するために導入された、複素平面を拡張した曲面状の数学的構造です。
リーマン面（Riemann surface）とは、複素数を変数とする関数（複素関数）が多値になる問題を解消するために、19世紀のドイツの数学者ベルンハルト・リーマンが導入した概念です。局所的には複素平面と同じ構造を持ちながら、全体としては複素平面とは異なるトポロジーを持つ曲面として理解されます。
例えば、複素数の平方根関数√zは、一つのzに対して2つの値を取ります。これを通常の複素平面上で考えると、関数が「一価」でなくなり扱いが困難になります。リーマン面では、複素平面を複数枚「重ねて」切り口でつなぎ合わせることで、多値関数を一価関数として扱えるようにします。
リーマン面の具体的な例をいくつか挙げます。
- √z のリーマン面：2枚の複素平面をつなぎ合わせたもの
- log z のリーマン面：無限枚の複素平面を螺旋状につなぎ合わせたもの
- 楕円曲線：コンパクトなリーマン面として表現できる
リーマン面は複素解析・代数幾何学・位相幾何学の交点に位置する重要な概念です。現代では弦理論や場の量子論などの理論物理学にも深く関連しており、数学と物理学の境界領域で活躍する基礎概念の一つとなっています。
使い方・例文
複素数の対数関数log(z)を複素平面上で考えると同じ点に無数の値が対応してしまいますが、リーマン面を使うことでそれぞれの値が異なるシートに対応し、一意な関数として扱えるようになります。
この用語をシェア
最終更新: