ニュートン法とは？
にゅーとんほう
ニュートン法とは、方程式の近似解を反復計算によって素早く求めるためのアルゴリズムで、数値解析の基本手法の一つです。
ニュートン法（Newton's method）とは、微分可能な関数f(x)に対して方程式f(x) = 0の解（零点）を反復的に近似していくアルゴリズムです。アイザック・ニュートンとゴットフリート・ライプニッツの研究に由来し、ニュートン-ラフソン法とも呼ばれます。
基本的なアイデアは、現在の近似点xₙにおける接線とx軸との交点を新しい近似点xₙ₊₁とすることです。数式で表すと次のようになります。
xₙ₊₁ = xₙ − f(xₙ) / f'(xₙ)
この更新を繰り返すことで、解に急速に収束していきます。ニュートン法の特徴は以下のとおりです。
- 収束の速さ：解の近傍で2次収束（各ステップで有効桁数がほぼ2倍になる）し、非常に高速
- 微分が必要：f'(x)の計算が必要で、微分が困難な関数には変形が必要
- 初期値依存性：初期値の選び方によっては収束しない場合がある
- 複素数への拡張：複素平面上での零点探索にも使われる
ニュートン法は数値解析・最適化・機械学習・コンピューターグラフィックスなど幅広い分野で活用されています。例えば、電卓やコンピューターでの平方根計算にも応用されており、実用上非常に重要なアルゴリズムです。
使い方・例文
√2の値をニュートン法で求める場合、f(x) = x² − 2として初期値x₀ = 1から始めると、数回の反復でx ≒ 1.41421356…という精度の高い近似値が得られます。
この用語をシェア
最終更新: