ドラーム・コホモロジーとは？
どらーむこほもろじー
ドラーム・コホモロジーとは、微分形式を用いて多様体の位相的な形を解析する理論で、微分幾何学とトポロジーをつなぐ重要な道具です。
ドラーム・コホモロジー（de Rham cohomology）は、滑らかな多様体の上で定義された微分形式（differential form）を使い、その多様体の位相的な性質を代数的に捉える理論です。スイスの数学者ジョルジュ・ドラームが20世紀前半に確立しました。
基本的な考え方は次のとおりです。微分形式の外微分 d を繰り返すと d ∘ d = 0 という性質があります。これを使い、「閉形式（dω = 0 を満たす形式 ω）」の空間を「完全形式（ω = dα となる形式）」の空間で割ったものが、ドラーム・コホモロジー群 H^k_dR(M) です。
ドラーム・コホモロジーの重要な点は以下のとおりです。
- 多様体の形（位相）を反映し、連続変形で変化しない不変量である
- ドラームの定理により、特異コホモロジー（位相的な方法）と同型になる
- ベッチ数（Betti numbers）がコホモロジー群の次元として得られる
- ポアンカレ双対性・ホッジ理論など豊かな構造を持つ
応用としては、物理学のゲージ理論や電磁気学の微分形式的記述、代数幾何学における複素多様体の研究、弦理論などにわたります。「穴の数」を数える直感的なコホモロジーの概念を微分積分学の言葉で厳密に定式化したものとも言えます。
使い方・例文
2次元の円環（トーラス）のドラーム・コホモロジーを計算すると、1次コホモロジー群が2次元になることが分かり、これはトーラスが「2種類の本質的なループ」を持つという位相的事実に対応します。
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