ガロア群とは？
がろあぐん
ガロア群とは、体の拡大に付随する自己同型写像全体のなす群であり、多項式の根の対称性を代数的に記述する概念です。
ガロア群とは、体の拡大 L/K に対して、K の元を固定しながら L を L 自身に移す全ての自己同型写像（体同型）の集合が、写像の合成を演算として群をなすときの、その群のことです。フランスの数学者エヴァリスト・ガロアにちなんで名付けられました。
ガロア群の最も重要な応用は、多項式の根を求める際の「解の公式の存在」を判定することです。ガロアは、多項式の根が「根号（冪根）だけを使った式」で表せるかどうかが、ガロア群が「可解群（solvable group）」であるかどうかと同値であることを示しました。これにより、5次以上の一般的な多項式には根号による解の公式が存在しないことが証明されました。
ガロア理論の主な内容は以下のとおりです。
- 中間体とガロア群の部分群が1対1に対応する（ガロア対応）
- 正規部分群は正規拡大に対応する
- ガロア群が可解群であることと冪根拡大が同値
ガロア群の概念は数論・代数幾何学・暗号理論など現代数学の広い分野に影響を与えており、抽象代数学における最も深い成果のひとつとされています。
使い方・例文
「なぜ5次方程式には一般的な解の公式がないのか」を説明する際、ガロア群が可解群でないことを根拠として示す場面が、ガロア群の最も有名な登場例です。
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