はさみうちの定理とは？

はさみうちの定理（英語：squeeze theorem、sandwich theorem）とは、数学における極限の定理の一つです。三つの数列（または関数）a, b, c について、常に a ≦ b ≦ c が成り立ち、かつ a と c が同じ値 L に収束するならば、b も L に収束するというものです。b が a と c に「はさみうち」にされることから、この名前がついています。

この定理が特に威力を発揮するのは、b の極限を直接求めることが難しい場合です。b を上下から挟む、より扱いやすい二つの数列や関数 a と c を見つけ、それらが同じ極限を持つことを示すことで、間接的に b の極限を確定できます。

代表的な応用例として、sin(x)/x（x→0のとき）の極限が1であることの証明があります。この極限は sin 関数の性質から直接求めることが難しいですが、幾何学的な不等式を用いて sin(x)/x を上下の関数で挟むことで、はさみうちの定理によって極限が1と確定されます。

はさみうちの定理は、高校数学の極限の単元や大学数学の解析学において基本的かつ重要な証明手法として扱われます。数学的厳密性を要求する場面でも有効で、直感では捉えにくい極限の挙動を論理的に確定させる際の強力なツールです。不等式の評価と組み合わせることで、多くの極限問題を解くことができます。