ラグランジュ乗数法とは？
らぐらんじゅじょうすうほう
ラグランジュ乗数法とは、等式制約がある条件下で関数の最大値・最小値を求めるための微積分の手法です。
ラグランジュ乗数法（Lagrange multipliers）は、制約条件 g(x, y) = 0 の下で関数 f(x, y) の極値を求める手法です。18世紀のイタリア・フランスの数学者ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュが体系化しました。
基本的なアイデアは、目的関数 f と制約関数 g の勾配が平行になる点が極値の候補になるという観察です。新しい変数（乗数）λ を導入し、次のラグランジュ関数 L を定義します。
L(x, y, λ) = f(x, y) − λ・g(x, y)
この L の偏微分がすべてゼロになる点、つまり連立方程式 ∂L/∂x = 0、∂L/∂y = 0、∂L/∂g = 0 を解くことで、制約下の極値の候補点が得られます。乗数 λ 自体は「制約を1単位緩めたときに目的関数がどれだけ変化するか」という感度（シャドウプライス）を表します。
この手法が活躍する主な分野は以下の通りです。
- 経済学：予算制約のもとでの効用最大化
- 工学：構造物の重量制約のもとでの強度最大化
- 機械学習：正則化つき損失関数の最適化
- 統計：最大エントロピー法による確率分布の推定
制約が複数ある場合も、乗数を増やすことで同様に対処でき、一般性が高い強力な最適化ツールです。
使い方・例文
「予算が固定されているとき、2種類の商品をどの割合で購入すれば満足度が最大になるか」という経済学の消費者問題を解くときに使います。機械学習の正則化でも背景理論として登場します。
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