シュワルツ不等式とは？
しゅわるつふとうしき
シュワルツ不等式とは、二つのベクトルや関数の内積がそれぞれのノルムの積を超えないことを示す不等式です。
シュワルツ不等式（コーシー＝シュワルツ不等式とも呼ばれます）は、線形代数・解析・確率論など数学の幅広い分野で基本的に使われる不等式です。ベクトル空間における内積 ⟨u, v⟩ に対して、|⟨u, v⟩|² ≤ ⟨u, u⟩ · ⟨v, v⟩、すなわち |⟨u, v⟩| ≤ ‖u‖·‖v‖ が成立することを述べています。
等号が成り立つのは、二つのベクトルが互いに線形従属（一方が他方のスカラー倍）である場合に限られます。
具体的な場面での形を挙げると、
- 有限次元ベクトル：(Σ aᵢbᵢ)² ≤ (Σ aᵢ²)(Σ bᵢ²)
- 積分形式：(∫f·g dx)² ≤ (∫f² dx)(∫g² dx)
- 確率論：[E(XY)]² ≤ E(X²)·E(Y²)
この不等式はフランスのコーシーとドイツのシュワルツがそれぞれ独立に発見したとされ、幾何学的には「二つのベクトルのなす角が実在する」ことを保証する役割を果たします。機械学習でのコサイン類似度の定義もこの不等式を前提としています。
使い方・例文
二つの商品の価格ベクトルと数量ベクトルがあるとき、シュワルツ不等式を使うと合計金額の上限を各ベクトルのノルムだけから評価できます。
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