シュワルツ不等式とは？
しゅわるつふとうしき
内積空間において2つのベクトルの内積の絶対値がそれぞれのノルムの積を超えないという不等式です。
コーシー-シュワルツ不等式とは、内積空間において任意のベクトルu・vについて |⟨u,v⟩|² ≤ ⟨u,u⟩⟨v,v⟩、すなわち |⟨u,v⟩| ≤ ‖u‖‖v‖ が成り立つという不等式である。等号はuとvが線形従属のときに成立する。ベクトルの成分での形では (Σaᵢbᵢ)² ≤ (Σaᵢ²)(Σbᵢ²) と表され、確率論での相関係数の範囲[-1,1]の証明などに使われる。
使い方・例文
確率変数X・Yに対してコーシー-シュワルツ不等式を適用すると、相関係数ρ=E[XY]/(√E[X²]√E[Y²])の絶対値が必ず1以下になることが保証される。
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