ガンマ関数とは？
がんまかんすう
ガンマ関数とは、階乗の概念を自然数以外の複素数全体へ拡張した特殊関数です。
ガンマ関数（Gamma function）は、自然数 n の階乗 n! を実数・複素数の範囲に拡張した特殊関数で、通常 Γ(z) と表記されます。積分表示としては Γ(z) = ∫₀^∞ t^(z−1) e^(−t) dt（実部が正の複素数 z に対して）が基本定義として用いられます。
最も重要な性質は漸化式 Γ(z+1) = z·Γ(z) が成り立つことであり、自然数 n に対して Γ(n) = (n−1)! が成立します。また、Γ(1/2) = √π という美しい関係式も知られています。
ガンマ関数が登場する主な場面を挙げると、
- 統計学のガンマ分布・ベータ分布の確率密度関数
- 二項係数の一般化（非整数の組み合わせ数）
- リーマンゼータ関数の関数等式
- 量子力学や流体力学の特殊解
18世紀のオイラーによって導入され、現代の科学・工学計算で広く利用されている重要な関数です。
使い方・例文
統計学で使われる「カイ二乗分布」や「t分布」の確率密度関数を書き下すとき、必ずガンマ関数が係数として現れます。
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