アーベル群とは？
あーべるぐん
アーベル群とは、群の演算において元の順序を入れ替えても結果が変わらない（交換法則が成り立つ）群のことで、数学の代数学における基本的な構造のひとつです。
アーベル群（可換群ともいう）は、抽象代数学における「群」の一種です。群とは、集合と二項演算（*）の組み合わせで、以下の4つの性質（群の公理）を満たすものです。
- 閉じている：集合内の任意の元a, bについてa*bも集合に含まれる
- 結合法則：(a*b)*c = a*(b*c) が成り立つ
- 単位元の存在：a*e = e*a = a となる元eが存在する
- 逆元の存在：a*a⁻¹ = a⁻¹*a = e となる元a⁻¹が存在する
これらに加えて、交換法則（可換性） すなわち任意の元a, bについて「a*b = b*a」が成り立つとき、その群を特にアーベル群または可換群と呼びます。
アーベル群の名称はノルウェーの数学者ニールス・ヘンリック・アーベルに由来します。アーベルは19世紀前半に活躍し、代数方程式の解法における群論への貢献で知られています。
身近な例として、整数全体の集合と加法（＋）はアーベル群を成します（3+5=5+3）。一方、行列の乗法は一般に交換法則が成り立たないため、アーベル群ではありません。アーベル群は数論・代数幾何・物理学など広範な分野で基礎概念として用いられます。
使い方・例文
「整数の加法がアーベル群を成すことは、代数学の授業で最初に習う具体例のひとつです。」のように、数学の講義や教科書でグループ・群論の解説に登場します。
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