スペクトル定理とは？
すぺくとるていり
「定理」の用語まとめを見るスペクトル定理とは、エルミート行列や自己共役作用素を固有値と固有ベクトルによって対角化できることを示す定理です。
スペクトル定理とは、線形代数および関数解析において、特定のクラスの線形作用素が固有値と固有ベクトル（あるいは固有関数）の完全な系によって表現できることを保証する定理の総称です。
有限次元の場合、エルミート行列（実数では対称行列）は必ず実数固有値を持ち、対応する固有ベクトルは互いに直交するように選べます。これにより、任意のベクトルをこれらの固有ベクトルの線形結合で表すことができ、行列を対角行列として扱える（ユニタリ対角化できる）ことが保証されます。
無限次元の場合、自己共役作用素（量子力学でいうオブザーバブルに対応）に対してもスペクトル定理が成立し、スペクトル測度を用いた積分表示が得られます。点スペクトル（離散固有値）だけでなく、連続スペクトルも扱える点が無限次元版の特徴です。
量子力学ではハミルトニアンなどの物理量の測定値が固有値に対応し、スペクトル定理はその理論的根拠を与えます。また、主成分分析（PCA）など応用数学・データ科学の手法の基礎にもなっています。
使い方・例文
対称行列の固有値分解や、量子力学でエネルギー準位を求める際にスペクトル定理が活用されます。
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