線型写像とは？
せんけいしゃぞう
線型写像とは、ベクトル空間の間で加法とスカラー倍の構造を保ちながら要素を対応させる関数のことです。
線型写像（線形写像とも書く）とは、2つのベクトル空間 V と W の間の関数 f : V → W であって、次の2つの条件を満たすものを指します。
これらをまとめて「線型性」と呼びます。直感的には、直線・平面・空間を「つぶしたり回転したりすることはできても、曲げることはできない」変換です。原点は必ず原点に移る、という性質もここから導かれます。
線型写像の重要な概念として、核（Ker）と像（Im）があります。核は f による像がゼロベクトルになる V の部分空間、像は f によって W の中に写された集合です。次元定理（rank-nullity theorem）によれば、V の次元は核の次元と像の次元の和に等しくなります。
具体的な線型写像の例としては、回転変換・射影・微分演算子・行列の掛け算などが挙げられます。行列と線型写像は1対1対応しており、有限次元の場合は行列を用いて線型写像を完全に表現できます。線型写像は線形代数の中心的概念であり、物理学・工学・機械学習・コンピュータグラフィクスなど広い分野で応用されています。
使い方・例文
平面上の点を原点を中心に30度回転させる変換は線型写像の典型例で、行列の掛け算として表すことができます。
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