カルタンの定理とは？
かるたんのていり
「定理」の用語まとめを見るカルタンの定理とは、コンパクト連結リー群上の対称空間や複素関数論におけるいくつかの重要な定理の総称で、数学者エリ・カルタンらに由来します。
カルタンの定理とは、フランスの数学者エリ・カルタン（Élie Cartan）やその子アンリ・カルタン（Henri Cartan）の名を冠した複数の重要な定理の総称です。文脈によって指す内容が異なります。
複素解析の文脈では、特にハルトークスの拡張定理に関連したカルタンの定理A・定理Bが重要です。これらはシュタイン多様体（ある種の複素多様体）上の正則関数の大域的性質に関する定理です。
- 定理A： シュタイン多様体上の連接層は大域的な切断で生成される
- 定理B： シュタイン多様体上では連接層の高次コホモロジーが消える
リー群論・対称空間論の文脈では、リー群の閉部分群が再びリー群になることを示す定理（カルタンの定理）や、対称空間の分類に関する諸結果が知られています。
微分幾何学では、移動枠法（カルタンの枠組み）を基礎とする構造方程式論もカルタンの重要な業績です。接続・曲率を外微分形式を用いて記述するカルタンの方法は、現代の微分幾何学・ゲージ理論の基礎となっています。
総じてカルタンの定理は数学の多くの分野にわたる深い結果であり、現代数学の発展に大きく貢献しています。
使い方・例文
多変数複素解析の講義では「カルタンの定理B」が登場し、シュタイン領域上で定義された連接層のコホモロジー消滅を保証するものとして学びます。リー群論の講義では、連続群の閉部分群が自動的に滑らかな部分群になることを示す文脈で登場します。
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